Esercizio: distanze tra chiusi e compattezza

Problema

Considerato uno spazio metrico $(X,d)$, siano $A,B\subseteq X$ chiusi e non vuoti; si supponga, inoltre, che almeno uno dei due insiemi sia compatto. Definita $$d(A,B)=\inf \{d(a,b):a\in A,b\in B\}$$ mostrare che $d(A,B)=0$ se e solo se $A\cap B\ne \varnothing$.

Soluzione

Dato che $d$ è simmetrica, possiamo scegliere che sia $A$ ad essere compatto. Per il teorema di Weierstrass, la funzione $d(\cdot ,B):A\to ℝ$, che è continua su un compatto, ammette massimo e minimo. In particolare, ammette minimo. Da ciò segue che, in questo caso, si può affermare che $d(A,B)=\min \{d(a,b):a\in A,b\in B\}$.

Ora possiamo mostrare le due implicazioni.

• Se $A\cap B\ne \varnothing$, allora esiste $a^{\prime }\in A\cap B$, per cui $d(A,B)\le d(a^{\prime },a^{\prime })=0$ banalmente.
• Se $d(A,B)=0$, allora esiste $a^{\prime }\in A$ tale che $d(a^{\prime },B)=0$. Ciò significa che per ogni $R>0$ il disco aperto $D(a^{\prime },R)$ non è disgiunto da $B$: questo è possibile se e solo se $a^{\prime }\in \stackrel{\_}{B}=B$, ovvero se e solo se $a^{\prime }\in A\cap B$, che è dunque non vuoto.